BD选项，根据《刑法》第262条第1款的规定，拐骗儿童罪，是指采用蒙骗、利诱或其他方法，使不满14周岁的未成年人脱离家庭或者监护人的行为。本案中，甲以从事杂技表演的名义欺骗多名农村儿童并将他们带到大城市，使他们脱离了家庭及监护人，虽然甲曾与儿童的家属电话联系，但一方面，这并不能说明家长同意了甲的行为；另一方面这也不能改变其使儿童脱离家庭及监护人的事实，拐骗儿童罪已经既遂。因此甲的行为构成拐骗儿童罪。故B选项正确，D选项错误。

A选项，根据《刑法》第262条第2款的规定，以暴力、胁迫手段组织残疾人或者不满十四周岁的未成年人乞讨的，构成组织儿童乞讨罪。该罪的行为表现为以暴力、胁迫手段，本题中甲没有暴力、胁迫，因此不构成组织儿童乞讨罪。故A选项错误。

C选项，根据《刑法》第266条的规定，诈骗罪，是指以非法占有为目的，用虚构事实或者隐瞒真相的方法，骗取数额较大的公私财物的行为。本案中，甲采取隐瞒真相（即这些儿童并非真的是乞讨儿童）的方法利用儿童从事乞讨活动，骗取好心人的财物，但通常施与乞讨儿童的财物数额应该达不到诈骗罪所要求的“数额较大”，因此甲的行为不构成诈骗罪。故C选项错误。

综上所述，本题正确答案为B选项。