根据《刑法》第26条的规定，组织、领导犯罪集团进行犯罪活动的或者在共同犯罪中起主要作用的，是主犯。三人以上为共同实施犯罪而组成的较为固定的犯罪组织，是犯罪集团。对组织、领导犯罪集团的首要分子，按照集团所犯的全部罪行处罚。对于第三款规定以外的主犯，应当按照其所参与的或者组织、指挥的全部犯罪处罚。

A项：甲在本次的共同犯罪中，属于组织者、召集人的身份，是本案的主犯，其主观上明知指令所有参与者与对方打斗时下手重一点可能造成死亡结果，仍持放任的状态，造成被害人死亡的结果，由于其系本案的主犯，应当以故意杀人罪对其定罪量刑。所以，A项正确。

B项：根据上述法条规定，在共同犯罪中起主要作用的是主犯，甲在该犯罪中指挥所有参与者的行为，其他人的行为均在其控制之中，所以甲是该案的主犯。所以，B项错误。

C项：根据罪责刑相适应原则，对于犯罪分子判处刑罚需要与其在犯罪中所应当承担的责任相当，对于该案现场斗殴者的定罪应当根据其在共同犯罪中所持的主观态度予以认定，若部分斗殴者以伤害的故意实行了伤害行为，则以故意杀人予以认定便不符合该原则。所以，C项错误。

D项：根据《刑法》第292条第2款的规定：“聚众斗殴，致人重伤、死亡的，依照本法第二百三十四条、第二百三十二条的规定定罪处罚。”聚众斗殴致人死亡的，依照故意杀人罪的规定定罪处罚。对于主、从犯罪名的认定，除了法律对罪名有特殊规定，以及法益得以在同一概念下进行解释的犯罪以外，主、从犯的地位只影响量刑。故意杀人所侵犯的法益并不能概括性的包括聚众斗殴所侵犯的公众秩序的法益，所以即使本案中首要分子与其他分子所持主观心态不同，也不能认定其他分子构成聚众斗殴罪。所以，D项错误。

综上所述，本题正确答案为A。