答案为A。

A项：《刑法》第87条规定：“犯罪经过下列期限不再追诉：（一）法定最高刑为不满五年有期徒刑的，经过五年；（二）法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的，经过十年；（三）法定最高刑为十年以上有期徒刑的，经过十五年；（四）法定最高刑为无期徒刑、死刑的，经过二十年。如果二十年以后认为必须追诉的，须报请最高人民检察院核准。”根据《刑法》第263条的规定，持枪抢劫的，法定最高刑是死刑。所以，A项正确。
B项：《刑法》第89条规定：“追诉期限从犯罪之日起计算；犯罪行为有连续或者继续状态的，从犯罪行为终了之日起计算。在追诉期限以内又犯罪的，前罪追诉的期限从犯后罪之日起计算。”甲在抢劫罪的追诉时限内又将他人殴打致重伤，构成犯罪，前罪抢劫罪的追诉期限应从犯后罪之日即11月8日起计算，而非2014年6月20日。所以，B项错误。
C项：《刑法》第88条之一规定：“在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件以后，逃避侦查或者审判的，不受追诉期限的限制。”若甲在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件之前逃避追查，其犯罪行为仍应受追诉时效的限制。所以，C项错误。
D项：根据《刑法》第87条的规定，法定最高刑为无期徒刑、死刑的，如果二十年以后认为必须追诉的，须报请最高人民检察院核准，而非公安部。所以，D项错误。 综上所述，本题正确答案为A。